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Formules mathématiques d'optique appliquées aux (stéréo)microscopes PDF Imprimer Envoyer
Écrit par PierreH   
Mardi, 05 Octobre 2010 11:32

Formules mathématiques d'optique appliquées aux (stéréo)microscopes


L'utilisation pointue du microscope ou du stéréomicroscope (appelé aussi loupe binoculaire) soulève un nombre important de question dont les fondements sont mathématiques. La recherche des réponses demande pour certaines de nombreuses heures de recherches parfois infructueuses.


Par exemple :

- quel plus petit objet puis-je discerner avec cet objectif ?
- pourquoi la profondeur de champ est-elle beaucoup plus faible en photo qu'en observation visuelle ?
- combien de megapixel doit avoir mon appareil photo pour afficher toute la résolution de mon objectif ?
- pourquoi mes photos sont nettes avec des objectifs forts et floues avec des objectifs faibles ?
 

 

Devant la complexité et la diversité des formules mathématiques utiles en microscopie, j'ai compilé certaines formules au fur et à mesure de mes recherches. 

λ = 0.550 µm, longueur d'onde moyenne de la lumière visible (vert, qui correspond au pic de sensibilité de l'œil humain)
ON : ouverture numérique, pas d'unité
n : indice du milieu d'observation n = 1 pour l'air, n = 1.515 pour l'huile à immersion
M : grossissement total = objectif x zoom x tube intermédiaire x oculaire
d : distance minimale entre 2 détails discernables selon le critère de Rayleigh (sujet trop vaste pour être ici expliqué http://www.microscopy.fsu.edu/primer/java/imageformation/rayleighdisks/index.html) dont on peut déduire la taille de la plus petite structure visible = d/2 (d'après Leica)


Microscopes :

  • Focale d'objectif
    Fobj = TL/Gobj car Gobj = TL / Fobj
    TL (mm) : longueur mécanique du tube (160 si standard non infini, 170 sur les vieux Leitz)
    Gobj : grossissement commercial de l'objectif


Stéréomicroscopes :

  • Résolution (articles Leica, doc Leica MacroFluo)
    d (mm)=1 / lp / mm
    lp / mm = 3000 x ON
    d (µm) = (0.61 x λ) / ON
    La résolution des stéréomicroscopes est souvent donnée en lp/mm : line pair per millimeter, paire de ligne par mm
  • Profondeur de champ visuelle
    PDCvis (µm) = λ/2.ON² + 340 / (ON x M)
    340 µm : pouvoir séparateur de l'œil (plus petit détail visible à 25 cm) dite formule de Berek (source Leica reSolution Industry No5)
  • Ouverture Numérique en fonction de la position du zoom
    ON = sin arctan (D/2f)
    ON = D/2f est une bonne approximation
    f (mm) : focale de l'objectif (la focale de l'objectif des Wild M3 et M8 est 100 mm, celle de la M10 et MZ16 est 80 mm, celui de la MBS-10 est 90 mm, il est cependant facile de le calculer)
    Il faut mesurer la pupille d'entrée D (mm) :
    - démonter la tête bino de votre bino CMO ainsi que son objectif frontal
    - déposer le corps de la bino à l'envers : il faut que de la lumière puisse entrer par les lentilles qui se retrouvent en dessous. L'idéal est de le monter à l'envers sur le statif
    - éclairer légèrement la platine
    - poser un réglet sur le corps de façon à pouvoir mesurer le diamètre du champ lumineux au travers du zoom : veillez à ne pas introduire d'erreur de parallaxe. Si le contre-jour vous gêne pour mesurer, aidez-vous d'une lampe de poche
    - mesurer le diamètre de lumière visible pour chaque position du zoom
    - faire 2 ou 3 fois les mesures
    - faire un tableau avec les valeurs de zoom dans une colonne et les pupilles d'entrée dans l'autre
    - traçer la courbe pupille = f(zoom) : la relation est linéaire (une droite) de type y = ax+b ce qui permet de corriger les erreurs de mesure.
    Source http://en.wikipedia.org/wiki/Numerical_aperture et http://www.mikroskopie-mikrofotografie.de rubrique Stereomikroskop, technische Daten
    Gérard Weiss a décrit une méthode qui me parait plus rigoureuse dans son article Ouverture numérique d'une loupe binoculaire : comment l'établir ?
    Jim Elder a écrit trois méthodes expérimentales permettant la mesure de l'ON d'après une image http://web.ncf.ca/aa456/misc/resolution/

 

Oculaires :

formules d'après Gérard Weiss http://www.lenaturaliste.net/forum/viewtopic.php?style=1&f=57&t=7222&p=36798#p36798
G (x): grossissement indiqué sur l'oculaire
D (mm) : diamètre du diaphragme de l'oculaire, aussi appelé indice de champ ou Field Number
F (mm) : focale de l'oculaire
a (degré) : champ angulaire

  • Grossissement commercial et focale de l'oculaire
    G = 250 mm / F
    F = 250 mm / G
  • Champ angulaire
    a = 2 x Arctan(D/2F)
  • Indice de champ (Field Number, diamètre du diaphragme)
    D = 2 x F x Tan(a/2)

 

Prise de vue numérique :

  • Ouverture minimale en deçà de laquelle les effets de la diffraction se font sentir (perte de piqué = perte de résolution)
    Fnumber = taille photosite µ x 2.12 (source La pratique du reflex numérique, René Bouillot)  
  • Résolution optimale
    Megapixels = (ON x 3000 x Champ APN x 4)²  x  3/4 / 106
    Cette formule s'applique si le champ rectangle de l'APN est inscrit dans le cercle image du microscope au plus juste (pas de vignettage : diagonale APN = diamètre cercle image microscope), sinon il faut corriger le champ

    explication de la formule :
    ONx3000 : potentiel de résolution de l'optique exprimé en lp/mm
    Champ APN : largeur du champ vu par l'APN, exprimé en mm
    x4 : il faut 4 photosites par paire de ligne pour capturer de façon optimale l'information de résolution (3 photosites suffisent pour un capteur monochrome)
    ² x 3/4 permet de retrouver le nombre total de photosites suivant le format du capteur (ici APN compact format 4/3)
    / 106: exprimé en Megapixel
    Source Leica The Leading Investigator n°6
  • Latitude de mise au point
    La latitude de mise au point est l'espace dans lequel le plan du capteur peut être positionné en ayant une image nette.

    Latitude de mise au point = 8 x ((ONobj + Mobj)²)

    Formule écrite par moi-même à partir des données de http://www.microscopyu.com/articles/formulas/formulasfielddepth.html
    Elle n'est pas mathématiquement démontrée mais elle modélise parfaitement les données ci-dessus.
    La latitude de mise au point varie en fonction de l'ouverture numérique et du grossissement de l'objectif, dans le sens inverse de la profondeur de champ.
    Cela explique pourquoi il est difficile d'avoir une photo nette à faible grossissement.

  • Z-stacking (CombineZP, Zerene Stacker, Helicon Focus) : reconstitution de la profondeur de champ par logiciel
    Je conseille d'utiliser un pas entre chaque cliché de la pile permettant un chevauchement de 30% des zones nettes (expérience personnelle, confirmée par Ch. Krebs).
    pas = 70% x Profondeur de champ photo

  • APN compacte : appareil photo compact à objectif intégré
    Les calculs prenant en compte le grossissement total doivent faire référence au grossissement au niveau du capteur (source Ch. Krebs)
    L'équivalent-projectif incluant l'objectif de l'APN se calcule :
    Mproj&obj = (focale zoom APN/250) x (Mprojectif)
    Le grosssissement au niveau du capteur :
    Mcapteur = Mobjectif x Mproj&obj
    L'indice de champ du capteur (Field Number), permettant de calculer le champ visible par le capteur :
    FNcapteur = diagonale capteur / Mcapteur
    La diagonale du capteur correspond à l'hypoténuse du triangle rectangle
    Diagonale capteur = √(longueur capteur² + largeur capteur²)
    Champ APN = FNcapteur / Mobjectif

  • DSLR : appareil photo reflex sans objectif
    Je vous conseille de vous référer aux travaux de
    Ch. Krebs, microphotographe renommé, qui fait autorité en la matière.


Macrophotographie :

  • Profondeur de champ pour ON <= 0.2 (fiche macrophoto Volker Betz 2007 sur forum http://www.strahlen.org)
    PDC(µm) = λ/(ON²)
  • Ouverture minimale en deçà de laquelle les effets de la diffraction se font sentir (perte de piqué = perte de résolution)
    Fnumber = taille photosite µ x 2.12 (source La pratique du reflex numérique, René Bouillot)

  • Profondeur de champ
    PDC(mm) = 2 x Fnumber x Coc x [(G+1)/G²]
    G = grandissement au niveau du capteur
    Coc = Cercle de confusion de votre APN
    (source "Pratique de la macrophoto" P. Durand, Ed. P. Montel 1981)


NB : les formules de résolution et de profondeur de champ sont toujours approximatives (on parle d'approximation "raisonnable") car elles dépendent de nombreux facteurs.

N'hésitez pas à me faire part d'éventuelles erreurs ou compléments utiles sur le forum !
Cet article est mis à jour en fonction de l'état de mes connaissances.

Mise à jour le Samedi, 28 Janvier 2012 20:41