Formules mathématiques en optique

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Formules mathématiques en optique

Messagede PierreH » 07 Oct 2009 19:53

Bonjour à tous,

attention : la synthèse mise à jour est dorénavant publiée sur le portail http://www.lenaturaliste.net/portail/ar ... icroscopes , les discussions se poursuivant toujours ici

devant la complexité et la diversité des formules mathématiques régissant nos activités, j'ai au fur et à mesure de mes recherches compilé certaines formules.
Je vous livre ma synthèse...

lambda = 0.550µm, longueur d'onde moyenne de la lumière visible (vert, qui correspond au pic de sensibilité de l'œil humain)
ON : ouverture numérique, pas d'unité
n : indice du milieu d'observation n=1 pour l'air, n=1.515 pour l'huile à immersion
M : grossissement total = objectif x zoom x oculaire
d : distance minimale entre 2 détails discernables selon le critère de Rayleigh (sujet trop vaste pour être ici expliqué http://www.microscopy.fsu.edu/primer/ja ... index.html) dont on peut déduire la taille de structure visible la plus fine = d/2 (d'après Leica)

Microscopes :
- résolution
d(µm) = (1.22x lambda)/(ONobjectif + ONcondenseur)
simplifiée car ONobj = ONcond (si le condenseur est réglé pour obtenir la meilleure résolution et non le meilleur contraste) en
d(µm) = (0.61x lambda) /ON
http://www.microscopy.fsu.edu/primer/an ... rture.html
- profondeur de champ attention, formule à vérifier (voir article en lien)
PDC(µm) = n x [(lambda x √(n²-ON²))/ON²]
http://www.microscopy.fsu.edu/primer/an ... depth.html
- profondeur de champ visuelle
PDCvis(µm) = n x [lambda/2.ON² + 340/(ONxM)]
340 µm : pouvoir séparateur de l'œil (plus petit détail visible à 25 cm)
dite formule de Berek (source Leica reSolution Industry No5)
- profondeur de champ photo
PDCphoto(µm) = n x [lambda/2.ON² + e/(ONxM)]
e (µm) : plus petite distance résolue par le capteur placé au plan image de l'objectif
http://www.microscopyu.com/articles/for ... depth.html

Objectifs photo :
- résolution pour ON <=0.33
ON = 1/(2 Fnumber)
http://en.wikipedia.org/wiki/Numerical_ ... s_f-number
http://en.wikipedia.org/wiki/F-number
le F-number est l'ouverture maximale d'un objectif photo notée après sa focale. Ex : 50mm/2.8
- profondeur de champ pour ON <= 0.2 (fiche macrophoto Volker Betz 2007 sur forum http://www.strahlen.org)
PDC(µm) = lambda/(ON²)
- ouverture minimale en deçà de laquelle les effets de la diffraction se font sentir (perte de piqué = perte de résolution)
Fnumber = taille photosite µ x 2.12 (Bouillot)

Stéréomicroscopes :
- résolution (articles Leica, doc Leica MacroFluo)
d(mm)=1/ lp/mm
lp/mm = 3000 x ON
d(µm) = lambda/2ON (très approximative, d(µm) = (0.61x lambda) /ON est plus précise)
La résolution des stéréomicroscopes est souvent donnée en lp/mm : line pair per millimeter, paire de ligne par mm
- profondeur de champ visuelle
PDCvis(µm) = lambda/2.ON² + 340/(ONxM)
340 µm : pouvoir séparateur de l'œil (plus petit détail visible à 25 cm)
dite formule de Berek (source Leica reSolution Industry No5)
- profondeur de champ photo
PDCphoto(µm) = lambda/2.ON² + e/(ONxM)
e (µm) : plus petite distance résolue par le capteur placé au plan image de l'objectif
http://www.microscopyu.com/articles/for ... depth.html
- Ouverture Numérique en fonction de la position du zoom :
ON = 0,01 + 0,05 Ln (coeff zoom + 0,4)
équation écrite par Eddy à partir des données de http://www.microscopyu.com/articles/ste ... intro.html
la valeur 0,05 doit être modifiée de façon à obtenir l'ON donnée par le constructeur de votre objectif pour la plus forte valeur de zoom. Cette équation est uniquement approximative, elle ne fait que modéliser l'allure de la courbe, n'a pas de fondement théorique et est donc sujette à discussion.

Prise de vue numérique
- ouverture minimale en deçà de laquelle les effets de la diffraction se font sentir (perte de piqué = perte de résolution)
Fnumber = taille photosite µ x 2.12 d'après René Bouillot
- résolution optimale
Megapixels = ((ON*3000*Champ APN*4)^2)*3/4/10^6
Cette formule s'applique si le champ rectangle de l'APN est inscrit dans le cercle image du microscope au plus juste (pas de vignettage : diagonale APN = diamètre cercle image microscope), sinon il faut corriger le champ
ON*3000 : potentiel de résolution de l'optique exprimé en lp/mm
Champ APN : champ mesuré vu par l'APN, exprimé en mm
*4 : il faut 4 photosites par paire de ligne pour capturer de façon optimale l'information de résolution (3 photosites suffisent pour un capteur monochrome)
^2)x3/4 permet de retrouver le nombre total de photosites suivant le format du capteur (ici APN compact format 4/3)
/10^6 : exprimé en Megapixel
Source Leica The Leading Investigator n°6
Le champ vu par l'APN peut se calculer à partir de l'indice de champ de l'oculaire photo et le grossissement de l'objectif. Ex : champ oculaire 21, objectif x10 soit un champ de 21/10 = 2.1mm

NB : les formules de résolution et de profondeur de champ =f(ON) sont toujours approximatives (on parle d'approximation "raisonnable") car elles dépendent de nombreux facteurs.

N'hésitez pas à me faire part d'éventuelles erreurs ou compléments utiles
Cet article est mis à jour en fonction de l'état de mes connaissances (il est maintenant mis à jour sur le portail du site).
Dernière édition par PierreH le 29 Déc 2011 09:51, édité 20 fois.
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Re: Formules mathématiques en optique

Messagede vincent bourgoin » 17 Avr 2010 11:55

Bonjour à tous,

Cela fait plus d'une semaine que je cherche vainement la formule de la profondeur de champ (zone de netteté) sur un stéréomicroscope.
La formule que tu donnes, Pierre (Pdc = (lambda x √(1-ON²))/ON²) , si j'ai bien compris, est valable en microscopie.
Mais cette formule ne fonctionne, a priori, pas sur mon stéréomiscrope.
Je n'arrive pas à retrouver les données données par le constructeur (http://www.microscopyu.com/articles/ste ... intro.html) table 3.
Par ailleurs, sur la même page, ils disent "At a magnification of 50x, using a 1x objective (numerical aperture 0.10), 10x eyepieces, and a zoom factor of 5, the depth of field exhibited by a typical stereomicroscope is approximately 55 micrometers. " Selon cette proposition, ta formule fonctionne Pierre.
Néanmoins, on voit clairement sur le tableau n°3 que les chiffres de Pdc varient en fonction du zoom mais aussi des oculaires utilisés (10x, 15x, 20x, 30x).
Je suis donc persuadé que le grossissement est à intégrer dans la formule.

Est-ce que l'un d'entre vous a une idée concernant cette formule de la Pdc sur stéréomicroscope ?

Concernant les mauvaises formules que j'ai trouvées sur le net

Pdc = (Wx250000)/(NAxM) + lamba/2NA²


W pouvoir de résolution de l'oeil = 0,0014
M grossissement total
Na : ouverture numérique
lamba 550 nano

Amicalement
Vincent
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Re: Formules mathématiques en optique

Messagede Maraussan » 17 Avr 2010 15:40

Par ailleurs, sur la même page, ils disent "At a magnification of 50x, using a 1x objective (numerical aperture 0.10), 10x eyepieces, and a zoom factor of 5, the depth of field exhibited by a typical stereomicroscope is approximately 55 micrometers. " Selon cette proposition, ta formule fonctionne Pierre.
Néanmoins, on voit clairement sur le tableau n°3 que les chiffres de Pdc varient en fonction du zoom mais aussi des oculaires utilisés (10x, 15x, 20x, 30x).


Bonjour,
que la profondeur de champ dépende de l'ON initiale de l'objectif me semble évident, que cette ON soit profondément modifiée par le zoom sur l'objectif, je veux bien sûr en convenir, MAIS que le grossissement de l'oculaire modifie cette profondeur de champ, j'en doute fort à priori ...
N'y aurait-il pas confusion dans cet article entre les calculs de profondeur de champ, et les calculs de LARGEUR de champ ??????
Dans une largeur de champ, tout intervient, distances, objectif/zoom, oculaires, etc ...

Au pire, tu peux peut-être contacter un des auteurs de logiciels d'optique géométrique, tel Jean-Marie Biansan (freeware OptGeo)
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Re: Formules mathématiques en optique

Messagede PierreH » 17 Avr 2010 17:59

Bonjour,

La même formule qu'en microscopie devrait pouvoir s'appliquer.
Le grossissement du zoom n'entre en fait dans la formule que pour en dégrader l'ouverture numérique : le fabricant en effet, indique l'ouverture numérique de objectif dans la position du zoom qui l'avantage le plus, c'est à dire au zoom maximum. On constate bien cela dans le tableau cité, où l'on voit que l'ouverture numérique annoncée pour cet objectif correspond à celle pour la position du zoom la plus élevée.
Je trouve surprenant que le grossissement de l'oculaire joue sur cette profondeur de champ car l'oculaire sert uniquement à grossir l'image intermédiaire pour la mettre à une taille pratique pour notre œil.
Le contenu de l'image est donc le même, dans tous ses paramètres (résolution, profondeur de champ...).
Cependant, je ne suis pas un spécialiste en optique, et si quelqu'un peut nous démontrer cela ou le contraire, j'en serai ravi.
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Re: Formules mathématiques en optique

Messagede BJL06 » 17 Avr 2010 19:08

J'ai vu qu'il existait un logiciel de calcul de lentille sur Mac
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Re: Formules mathématiques en optique

Messagede vincent bourgoin » 01 Mai 2010 09:15

Bonjour à tous,

J'ai contacté les responsables du site microscopyu.

La formule qu'ils m'ont communiquée et utilisée pour les valeurs de profondeur de champ est la suivante :

Pdc = ( lambda / (2 NA²) ) + ( 1 / ( 7 x M x NA ) )

où lamba = 550 nm
NA : ouverture numérique de l'objectif
M : grossissement total (obj x zoom x oculaire )

La première partie de la formule donne la profondeur de champ " physique " (en tout cas nommée comme telle ).

Cette formule permet donc de comprendre le tableau 3 !

Cependant, pour effectuer le calcul moi même pour une valeur de zoom donnée (3 par exemple), j'ai toujours besoin de connaître la NA de mon objectif pour cette valeur de zoom. Formule qu'ils n'ont pas réussi à me donner.

Comment trouver l'ouverture numérique en fonction du zoom ?

Je sais que la distance focale de l'objectif est de 0,8 ; il doit bien y avoir un rapport avec le diamètre des cercles optiques puisque la NA varie aussi en fonction de l'ouverture du diaphragme.

Je sais aussi que la NA donnée (0,131 pour l'obj 1x) doit plafonner au zoom maxi, même si l'on rajoute un facteur grossissant supplémentaire (éclairage coaxial par exemple...x1,5)

Avez-vous une idée concernant cette NA sur un stéréozoommicroscope ?

Amicalement
Vincent
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Re: Formules mathématiques en optique

Messagede PierreH » 01 Mai 2010 13:53

Bonjour,

je n'ai malheureusement jamais trouvé de formule de NA en fonction du zoom.
Cependant, il doit être possible de faire la chose suivante :
- faire des mesures (paramètres à déterminer parmi ce qui est mesurable, probablement ce qui est le plus difficile à faire) à différents pas de zoom
- construire la courbe résultante
- modéliser cette courbe par une formule adéquate

Si la formule se vérifie auprès de nous tous, on pourra la nommer la formule Bourgoin !
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Re: Formules mathématiques en optique

Messagede pierre4fun » 01 Mai 2010 23:21

Bonjour Vincent,

Pour la mesure, Ici une méthode qui me semble intéressante:
http://www.photomacrography.net/forum/v ... 4&start=14
Amicalement, Pierre
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Re: Formules mathématiques en optique

Messagede Daniel » 02 Mai 2010 08:58

Bonjour,
ces problèmes d'optique théorique sont complexes. Lorsque j'ai appris un peu d'optique en premier cycle de deug scientifique, les calculs n'étaient valides que "sur des lentilles simples et minces"...
En pratique photographique, je raisonne avec l'ouverture relative qui est le rapport distance focale sur diamètre du diaphragme
N=f/D
Dans un zoom, la focale varie, pas le diaphragme; il semble logique que l'ouverture relative varie. Pourtant il existe des zooms à ouverture constante!
Je serais ravi si quelqu'un me l'expliquait dans un autre post. En tout cas, cela montre que les formules simples ont une validité limitée.

En microscopie, c'est l'ouverture numérique qui est utilisée
O.N.=n sin i
(n est l'indice du milieu - 1 dans l'air-
i est l'angle entre l'axe optique et le rayon le plus écarté)
Il doit y avoir une relation entre N et O.N. (NA des anglophones). Qui saura me l'exprimer?

Pour revenir à la profondeur de champ d'un stéréomicroscope, peut être peut on y appliquer la formule utilisée en macrophoto avec des objectifs symétriques
PC ±= 2Nc((G+1)/G²)
Ou N est l’ouverture relative et c est le diamètre du cercle de confusion
Je cite surtout cette formule pour indiquer que le grandissement doit être pris en compte pour les images sur film ou papier.
Je sais que la distance focale de l'objectif est de 0,8

Vincent, cette valeur est étonnante ; A vérifier

Finalement l’approche expérimentale proposée par Pierre for fun de mesure des cones lumineux sortant de l’objectif est peut être plus facile que l’approche théorique inapplicable sans données constructeur?
Merci en tout cas pour le lien sur photomacrography.net qui m’a renvoyé vers des pages intéressantes de Rik Littlefield
ex http://www.janrik.net/DOFpostings/PM1/D ... tions1.htm
J’ai de quoi lire…
Daniel Nardin
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Re: Formules mathématiques en optique

Messagede vincent bourgoin » 02 Mai 2010 20:32

Daniel,

"Thus, a 0.5x objective designed for the SMZ1500 has a 160-millimeter focal length, with the 1.0x and 2.0x objectives having focal lengths equal to one-half and one-quarter that of the 0.5x lens, respectively." (http://www.microscopyu.com/articles/ste ... intro.html)
J'en déduis donc que la distance focale est de 80 mm. J'avais mis 0,8 parce que j'avais fait mes calculs en dm.

Ton ouverture relative N (= f/D) est ce qui est appelé a priori f-number (= distance focale/diamètre d'ouverture)
Par suite, f-number = 1/(2NA), on peut peut-être déduire que ton N = 1 / (2NA) ?
Le problème avec le zoom, c'est que le diamètre d'ouverture change...

Amicalement
Vincent
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